만나서 반갑습니다。
오늘은 미분 형태의 맥스웰 방정식에 대해서 간단하게? 모양을 알아보는 시간을 갖도록 하겠습니다
맥스웰을 아주 유능한 물리학자였어요. 그가 종래 산발적으로 연구되던 전기와 자기에 관한 다양한 연구를 하나의 통합된 ‘전자기학’이라는 체계로 통합시킴으로써 물리학의 체계화와 발전에 지대한 공헌을 하였습니다.
시대적 배경부터 살펴볼까요?
- 맥스웰이 살던 시절은?맥스웰 이전에도 유명한 이론, 실험물리학자들의 전자기학 연구는 진행되어 왔습니다.
- 예를 들어 펠로데이에 의해 자석과 전류가 흐를 수 있는 코일이 있으면 운동에 의해 유도기전력(현재 터빈을 돌려 전기를 만들 때 쓰이는 기본 원리이다)이 발생할 수 있다는 사실. 쿨롱에 의해 전하를 가지고 있는 입자 사이에서 ‘전기력’이라는 힘이 작용한다는 사실 등은 알고 있었습니다.
- 하지만 이론적, 실험적 연구 결과가 따로 있었어요. 분명히 서로 관련이 있을 것 같은 전기 현상과 자기 현상이 따로 놀았어요. 게다가 같은 전기적 현상과 자기적 현상 속에서도 완전히 체계화되어 정리되지 않았던 상황이었습니다.
흔히 보는 제임스 클락 맥스웰의 젊은 시절 모습이다. 예상외로 잘생긴 얼굴이다 그러면 맥스웰은 왜 매우 중요한 물리학자일까. 왜냐하면 그 당시 산발적으로 연구되던 전기장, 자기장을 비롯한 이들 힘의 원천 사이의 모든 관계식을 정리학 천재적인 물리학자가 ‘맥스웰’이기 때문입니다.
그러니까, 산발적으로 퍼지고 있던 여러가지 전자기학식을, 맥스웰에 의해서 크게 4개의 카테고리(전기장에서 가우스의 법칙, 자기장에서 가우스의 법칙, 패러데이의 법칙, 암페일의 법칙)로 정리한 것이 맥스웰입니다. 이 4개의 맥스웰이 정리한 방적식을 「맥스웰 방정식」이라고 부르는 것입니다.
사실 맥스웰이 이 네 가지 공식적인 배경 이론이나 실험적 사실을 모두 발견한 것은 아닙니다. 그 중 일부(변위전류에 의한 개념, 전자기파의 존재예측 등)를 맥스웰이 발견하여 앞선 과학자들의 전기와 자기현상에 있어서의 업적을 깨끗이 정리한 것이 맥스웰의 최대 업적이라고 할 수 있습니다.
2. SI 단위계로 맥스웰 방정식, 그럼 우선 SI 단위계로 미분 형태의 맥스웰 방정식을 정리해 봅시다.
SI 단위 계열은 여러분께 가장 익숙한 단위 계열입니다.초등학교, 중학교, 고등학교에서도 대부분 학점계를 이용해서 계산을 했습니다.길이의 단위를 m(미터), 시간의 단위를 s(초), 질량의 단위를 kg(킬로그램)으로 하는 단위계가 SI 단위계입니다.그래서 다른 말로 미터, 세컨드, 킬로그램의 머리 글자를 따서 mks 단위계라고도 합니다.전자기학을 공부하는 사람에게는 아주 익숙한 형식의 방정식입니다.하지만 처음 보는 사람에게는 낯선 형태의 방정식입니다.이상한삼각형도나오고,고등학교미적분으로는가르치지않는편미분개념도등장을했네요.그리고 곱셈도 우리가 알고 있는 사칙연산과는 다릅니다. 도트(점)곱과 크로스(x)곱이 있으니까요.
이 모든 것을 이번에는 자세히 설명하지 않을 겁니다.다만 이런 비슷한 형태의 방정식이 앞으로 게시글을 쓰다 보면 등장할 수밖에 없기 때문에 오늘은 미리 얼굴을 기억하기를 바라는 의미로 정리할 뿐입니다.
일단, SI단위계에 있어서의 4개의 맥스웰 방정식은 상기와 같습니다.E는 전기장, B는 자기장, J는 전자장 내의 전류밀도, ε은 진공에서의 유전율, μ는 진공에서의 투자율을 의미합니다.그리고 c는 우리가 흔히 알고 있는 ‘빛의 속력’이라고 보시면 됩니다.
각각의 식에 대해서는, 마지막으로 종합적으로 큰 틀에서만 설명하겠습니다.
3. cgs 단위계에서 맥스웰 방정식 cgs 단위계는 SI 단위계와는 또 다른 체계입니다. cgs단위계는 작은 세계를 다뤄야하는 물리학에서부터 천체물리학과 우주론까지 여러 곳에서 사용됩니다. 눈치채신 분도 계시겠지만 여기서 c는 길이의 단위인 cm이고 g는 질량의 단위인 g, 마지막으로 s는 시간상의 단위인 s(초)입니다
SI 단위 계열에 비해 cgs 단위 계열은 작은 값을 기본 단위로 사용하므로 물리학에서는 다양한 의미에서 SI 단위 계열과 함께 많이 사용되는 단위 계열입니다. 그만큼 같은 상수인데 SI단위 계열과 cgs단위 계열의 크기가 많이 다르듯이? 보일 수도 있어요 그리고 전자기학을 비롯한 몇몇 물리학 분야에서 SI단위계가 아니라 오히려 cgs단위계를 사용한 채 양식이 깔끔하게 떨어지는 경우가 있기 때문에 물리학자나 천문학자는 cgs단위계를 많이 애용합니다.
SI 단위계와 cgs 단위계에서의 대표적인 물리 상수는 나중에 정리하는 것으로 합시다.
오늘은 cgs 단위계에서 미분 형태의 맥스웰 방정식은 어떤 형태인지 알아보겠습니다.여기에서도, E는 전기장, B는 자기장, J는 전자장내의 전류 밀도, 마지막에 c는 「빛의 속력」입니다.
그런데 뭔가 SI 단위 계열과 결과식이 다르죠?진공 상태에서의 유전율ε과 진공에서의 투자율μ은 인정되지 않았습니다.왜이런결과를나타내는지는오늘알아볼사항은아니지만어쨌든단위계만이바뀌었을뿐인데이런식으로전반적인형태까지차이가나는것이신기합니다.
오늘은 단순히 맥스웰이 정리한 4개의 방정식이 어떠한 것이 있고 그 모양이 어떠한 것인지만을 기억하십시오.앞으로 우주과학에서 이론적인 내용이 등장할 때 맥스웰 방정식 혹은 맥스웰 방정식과 관련된 전자기학 공식이 사용됩니다. 간단한설명을해도짧은공식몇줄이등장했을때그공식을익힌다라는의미로정리를하는것입니다.
3. 각 방정식의 의미 4개로 묶인 맥스웰 방정식은 크게 3개로 구분됩니다. 가우스의 법칙, 페르데이의 법칙은 마지막으로 암페르-막스웰 방정식입니다. 이것들을오늘은간단히정리해보도록하겠습니다.
3) 가우스의 법칙은 여러분이 들어본 수학자 가우스에 의해 정리된 내용입니다.
가우스 법칙은 어떤 ‘유한한 부피’를 감싸는 ‘폐곡면’을 통과하는 전기력선이나 자기력선 다발 등을 계산하는 방법입니다.
이 때, 전계인 전계 영역을 감싸는 폐곡면을 만들고, 이 때 폐곡면 표면에서 총전기력 선속의 「합력」을 구하면 맥스웰 방정식의 최초의 「전계에서의 가우스 법칙」의 공식이 나타납니다.
반면 같은 방법으로 자기장인 자기장 영역을 감싸는 폐곡면을 만들고, 이 때 폐곡면의 표면에서 총자력선다발의 합력을 구하면 0이 됩니다. 그것이 맥스웰 방정식의 두 번째인 「자기장에서의 가우스 법칙」의 공식이 나오는 것입니다.
각각을 자세하게 구하는 방법. 미분과 적분의 형태로 가우스 법칙의 표현에 대해서는 나중에 자세히 배우도록 하고, 반복해서 말씀드리겠지만 오늘은 이 공식을 익히기 위한 것입니다.
3) 페르데이 법칙, 페르데이 법칙은 고등학교 때 물리학을 들은 사람이라면 다 배웠다는 내용입니다. 문자 그대로 전자 유도에 관한 법칙으로, 아마 고등학교 시절에는 유도의 기전력을 크게 하기 위한 세 가지 조건을 배웠을 거라고 생각합니다. 그리고 그 조건은 1) 자기선 다발의 밀도가 클수록 (즉 자석의 세기가 셀수록), 2) 코일이 감긴 횟수가 많을수록 3) 자석 또는 코일을 움직이는 속도가 빠를수록 … 이때 만들어지는 유도기 전력의 크기가 크다는 것을 배웠을 것입니다.
여기서 더 근본적인 이야기를 정리한 것이 페르데이 법칙입니다.닫힌회로에서의유도기전력은그고리를통과하는자력선속의시간변화율의부의수과같다.
하나의문장으로만들어지면어렵게느낄수있는데이것을풀어서쓰게되면고등학교때물1,2에서배우는페러데이법칙으로유도기전력을크게만드는세가지원리와동일하게됩니다.
즉 패러데이 법칙은 변화하는 자기장에 의해 유도 기전력이 만들어진다는 것이 핵심 내용입니다. ‘시간과 함께 변화하는 자기장’이 ‘전기장’을 만들어 내는 것입니다.
3-3) 앰펠-맥스웰 방정식, 이번에는 상기의 다른 3개의 맥스웰 방정식과 달리 학자의 이름이 2개나 들어 있습니다. 왜 그랬을까요?
왜냐하면 초기 암페르 법칙은 불안정했어요. 최초로 만들어진 암페르 법칙은 전류가 일정한 경우, 자성 물질이나 시간에 따라 변화하는 전계가 존재하지 않는 경우에만 성립됩니다.
그래서 맥스웰은 암페르의 법칙을 보다 일반적인 경우에도 성립시키도록 고쳐 썼습니다. 사실, 이 네 번째 방정식을 정리한 것으로부터, 맥스웰이 큰 일을 해냈습니다. 그래서 맥스웰 방정식의 네 번째 공식 이름은 두 학자의 이름이 들어가 ‘암페르-멕스웰 방정식’이 된 것입니다.
결국 암페일-맥스웰 방정식은 패러데이 법칙과 반대로 이번에는 시간과 함께 변화하는 전기장이 자기장을 생성한다는 것이다. 그게 암페르-맥스웰 법칙의 핵심이죠.
맥스웰의 또 다른 모습 젊은 시절과 달리 털북숭이 아저씨가 되어 버렸다. 그러나, 그 만큼 물리학에 큰 영향을 미친 대단한 물리학자이다.
4. 결론 맥스웰은 전기와 자기 현상에 대한 지금까지의 이론적, 실험적 결과를 성공적으로 하나로 묶었습니다. 그래서 마치 전기와 자기에 대한 전반적인 내용을 4개의 방정식으로 정리함으로써 체계적인 “전자기학”을 창시할 수 있었습니다.
그 과정에서 맥스웰은 암페르의 법칙을 일반화시키기 위해 ‘변위전류’라는 개념을 도입하기도 하고, 그리고 처음으로 ‘전자기파’에 대한 존재를 명확하게 예측하는 등 19세기 당시의 전기와 자기에 대한 물리학을 ‘전자기학’이라는 체계 속에서 하나로 묶어 버린 그의 업적은 기껏해야 대단하다고 할 수 있습니다.
하지만 전자기학이 쉬운 학문은 절대 아닙니다. 깊이 들어갈수록 아주 어려운 학문입니다. 대학이나대학원에서전자기학을깊이공부해본분들이라면그의미를알수있겠죠.
그런 만큼 오늘은 우주과학에서 많이 사용되는 전자기학 방정식의 가장 기본이 되는 “맥스웰 방정식” 4가지에 대해 정리한 것입니다.
앞으로 기회가 되면 조금씩 위의 맥스웰 방정식에 대한 자세한 내용을 연재해 나갈 생각입니다. 적분형의 맥스웰 방정식도 당연히 알아봐야겠죠?
물론이것들은시간이되면천천히배워보기로하고,다음차시에서는로렌츠력과플라즈마의기본성질등에대해정리해보도록하겠습니다. 전자기학과 더불어 우주과학에서 중요한 요소가 바로 ‘플라즈마 물리학’이기 때문에 플라즈마 과학에 관한 이야기로 들어가기 전에 여러 번 기본적인 내용이 필요합니다.
듣기만 해도 벌써 머리가 핑 도는 짜증도 있으시겠지만 몇 번 기본 배경지식을 다듬으면 이제 제가 연재하는 우주과학 이야기가 재미있게 들릴 겁니다. 그리고 가능한 어려운 공식은 자제하고 어려운 공식을 쓸 경우 미리 양해를 구할 생각입니다.
다음 주는 2일간 천문우주관측기기 워크숍도 있고 개인적인 사정도 많으니 다음 주 이런 심도 있는 글 연재는 일요일(8월 22일)이 될 것 같습니다. 그럼 즐거운 주말 보내세요.